Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $2$ adalah matriks persegi $2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 + 0 \\ 65 + 0 & - 7 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $- 5$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 \\ 65 + 0 & - 7 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $65$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 \\ 65 & - 7 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (23 - λ) (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

Langkah 5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Perluas $(23 - λ) (- 7 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 23 (- 7 - λ) - λ (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 23 \cdot - 7 + 23 (- λ) - λ (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 23 \cdot - 7 + 23 (- λ) - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.1

Kalikan $23$ dengan $- 7$ .

$p (λ) = - 161 + 23 (- λ) - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $23$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.2.1.3

Kalikan $- 7$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 65 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 65 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 65 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ + 1 λ^{2} - 65 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ + λ^{2} - 65 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.2.2

Tambahkan $- 23 λ$ dan $7 λ$ .

$p (λ) = - 161 - 16 λ + λ^{2} - 65 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 65$ dengan $- 5$ .

$p (λ) = - 161 - 16 λ + λ^{2} + 325$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 161$ dan $325$ .

$p (λ) = - 16 λ + λ^{2} + 164$

Langkah 5.2.3

Susun kembali $- 16 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 16 λ + 164$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$λ^{2} - 16 λ + 164 = 0$

Langkah 7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 16$ , dan $c = 164$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $λ$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 164)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Naikkan $- 16$ menjadi pangkat $2$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 164}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 164$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 164}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $164$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 656}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.3

Kurangi $656$ dengan $256$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 400}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4

Tulis kembali $- 400$ sebagai $- 1 (400)$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (400)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{400}$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{400}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$λ = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{400}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.7

Tulis kembali $400$ sebagai $20^{2}$ .

$λ = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{20^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$λ = \frac{16 \pm i \cdot 20}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.9

Pindahkan $20$ ke sebelah kiri $i$ .

$λ = \frac{16 \pm 20 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$λ = \frac{16 \pm 20 i}{2}$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan $\frac{16 \pm 20 i}{2}$ .

$λ = 8 \pm 10 i$

Langkah 7.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = 8 + 10 i, 8 - 10 i$